逻辑：探究的理论（19-20）（选）

第四部分  科学方法的逻辑

十九、逻辑与自然科学：形式与质料（选）

人们普遍认为，在某种意义上，逻辑是与形式而不是质料相关的。像“和、或者、任何、仅仅、没有、所有的、如果、那么、是和不是”那样的语词，就不是命题的物质性成分。不论我们怎样定义“逻辑的”，它们所表达的都是质料因逻辑上的目的而被安排的方式。“约翰爱玛丽”和“彼得讨厌琼”这两个句子具有相同的形式，却具有不同的实质性内容。“二加二等于四”和“三角形三内角之和与两直角相等”这两个句子尽管质料内容不同，但形式则是相同的。同样，命题“卡耐基是富有的”和“百万富翁是富有的”具有不同的形式，因为第一个命题关涉的是属于某个种类的个体，另一个命题所关涉的则是种类之间的关系。

逻辑主题中的形式的固有位置，并不只是老生常谈。它阐述了把逻辑主题区别于其他科学主题的特征。它提供了逻辑理论的基本假设。然而，承认这一事实，并不能解决形式和质料的关系是什么的问题；也不能解决是否有某种关系以及这种关系是什么，或者是否完全就没有关系的问题。这个问题是如此的基础，以至于处理它的方式构成了逻辑理论间之差异性的基本依据。那些认为形式和质料之间没有关系的理论，是形式主义的。它们自身存在着分歧：一些认为，形式构成了形而上学的可能性领域；另一些则认为，形式就是语词在句子中的语法关系。与逻辑理论相反的类型认为，形式就是质料的形式。本书中所阐释的这种类型理论之多样性的差异性特点是：根据主题在探究中受制于为其目的——保证性结论的形成——所决定的条件而使自己获得了逻辑形式。

1.引论。在这里没有必要重复或总结提出过用以支持这一立场的那些论据。但是，带有某种扩展性地重申以前提出过的一个观点，即所讨论的那种观念（即质料获得了最初并不具有的形式）是一种维拉假说，而不是构造出来为某个专门的逻辑理论的特殊需要服务的概念。在许多实例中，最初的原生质料之所以呈现出限定性的形式，是因为操作要求那样的质料，以便能够促进明确的目的。事实上，这种事情总是发生在需要对最初的原始材料进行重新安排，以满足将其用作实现结果之手段而施加于其之上的要求。形式伴生于质料，这并不需要等到逻辑学出现之后。相反，逻辑本身不得不等到各种技艺已经形成操作，通过这种操作，原始材料呈现出新的形式以使它们适合发挥作为实现结果之手段的功能。这么说，是比较正确的。

关于这一点，有许许多多的例子可以给出，但这里将选择两个作为范例，即法律的形式和审美的形式。法律概念的形式性本质是如此显著，以至于在法律史上，有很多次，人们都有正当的理由去抱怨，形式性的程序已经变成控制性的因素，从而牺牲了实质性的内容。在这种情况下，它们不再是关于质料的形式，而是变得如此孤立，以至于成了纯粹的形式主义——这一事实对逻辑学来说，或许富有启发性，因为很显然，法律形式应该服务于为解决争端而提供手段这一实质性目的。而且，其客观的目标是尽可能地为行为预先提供规范的途径，以降低争端发生的可能性。通过规定人们进行交往的方式，处理人际关系的规则就出现了，以避免冲突；并在冲突发生时解决冲突，以及使受害的一方得到补偿。这些法律规则提供了各种各样关于方法的事例，在其中，“自然的”行为模式由于受制于规则中所表述的条件而呈现出新的形式。当社会性的相互作用和社会交往的新模式产生新的社会环境的时候，以及当新的社会条件设置了新的交往类型的时候，新的形式就会出现，以满足社会的需要。例如，当一种新型工商企业需要大量资本时，被称为有限责任的形式就随着建构有关合作关系的法律规则的形式而产生。

一个更为简单的例子，可以在被称为契约的法律形式中找到。人与人之间的协定是“自然的”或原始的活动模式的范例，这些人为了共同的目的而联合他们的行动；在这个共同的目的中，一个人承诺作能够促使达成目标的事，而另一些人则同意做其他的事务。在社会生活的早期，这种互惠协定肯定就已经出现了。但是，由于协议成倍地增加及其执行问题变得迫切，并且直接的物物交换式的事务越来越少，而关于商品和服务交换的协定在未来越来越多，于是就出现了某些形式，以在互惠协定的类型中进行区分。其中有些被视为单纯的承诺，若不能执行，也不会有强制性的处罚；而另一些情况则是：不执行约定的一方要承担法律上的责任，另一方则被授予了强制索赔的权利。

在单纯的承诺行为中，并没有什么能把一种协议和其他协议区分开来。因此在进行一种承诺时就不得不附加某种形式特征，以使其可以被强制执行，比如一个签章或一个“约因”证据。这些形式合起来，限定了一个契约。不过，虽然契约的概念纯粹是形式上的，但它是（1）一种物质形式，并且（2）是之前非形式化的物质为了使该物质所服务的目的，以稳定的方式在更广阔的范围内实现而获得的形式。随着商业交易变得更加复杂，合同的子类就产生了，交易的每一个种类都有它自身独特的形式特征。

正如人类没有等到契约法出现之后才开始进行互惠式的承诺一样，人类也并没有等逻辑理论产生之后才开始从事探究以获得结论。但是和在商业交易行为中一样，探究的经验表明，探究得以开展的目的无法大规模实现或有序化地实现，除非它的质料受制于一些条件，而这些条件把形式属性强加于质料之上。当这些条件被抽象出来时，它们就形成了逻辑的主题。但是，就其各自的指涉和功能而言，它们并没有因此而停止成为主题的形式。

艺术的对象，绘画、音乐、建筑、诗歌、戏剧等的对象，之所以作为审美的对象而是其所是，就是因为先前的原始质料所呈现的形式，这一点显而易见，不需论证。对于建筑上的多利斯式和哥特式之间的区分，或者音调元素在交响乐和爵士乐之间的安排上的差异，熟悉其质料的人并不会有什么困惑。类似的，就土地而言，为了给土地所有者以法律上的身份，必须有记录等各种与之相对应的形式。没有人会怀疑，关于土地的这种形式和那种使景观作为审美对象的形式之间存在差别。诗歌通过某种特殊的形式而区别于散文式的描述。不可否认，诗歌的质料独立并且先于艺术性的处理而存在，而且其质料由之而呈现审美形式（例如韵律和对称性）的那些关系也是独立存在的。但是，为了把先前的天然质料与关系以能够形成一件艺术品的方式组合在一起，就需要建构艺术的刻意努力，需要构建各种各样的艺术的刻意努力。由此产生的形式，是可以进行抽象的。因此，它们成为美学理论的主题。但是，离开这些形式，就没有人可以孤立地构造一件艺术品。非常明确，就质料被重塑以服务于明确的目的而言，质料获得了审美的形式。

2.形式主义的失败。严格的逻辑形式主义的观点，与质料的形式相对的、把形式假定为脱离于逻辑形式的质料的观点，在与自然科学中的方法的关系问题上，已十分尖锐。因为如果形式主义逻辑无法处理科学方法的特征，那么就获得了在这卷中所表达的立场的强有力的证实，即使是间接的。初看起来，似乎纯粹的形式主义会使接受该学说的那些人完全放弃对任何自然科学方法的任何参照，因为那种方法所关注的，很显然是事实性材料。然而，情况并非如此。形式主义逻辑并不愿意对实存性科学中的方法的主题完全置之不理。经常所说的“逻辑学与科学的方法”这一短语，表达了对某种关联方式的信念。传达此种关联方式的另一种说法，是“应用逻辑”这一短语。

两种说法都在回避问题，或至少掩盖了有争论这个事实。就看似无关的短语“应用逻辑”而言，其真正的问题是：当逻辑学由完全独立于质料的形式来定义时，这种说法是否还有任何根本性的意义。因为它所问的正是：此种形式能否应用于质料。如果不能，应用逻辑就是一个毫无意义的说辞。因为问题并不是在探究中，逻辑形式是否被应用于（在“正在被使用”的意义上）实存性的主题，而是说：假若它们都是纯粹形式主义的，那么还能否被如此使用。当对自然现象的探究以科学的方式开展时，它就会涉及只能被纯粹形式化地证明的数学命题，这一事实可能被提出来（比如）作为应用逻辑的一个实例。这一事实不仅被认可，而且正如在前面的讨论中已经表明的那样，是必须的。然而，这种认可完全不能证明形式和质料之间缺少关系。它反倒提出了一个问题，即在什么条件下，才可以应用或使用非实存性的命题来决定那些具有质料内容和意义的命题。

正是在应用条件这个根本问题上，形式主义理论失败了。事情的本质似乎是显而易见的：一个与质料完全无关的形式，是不能说适用这个主题而不适用那个主题的，更谈不上以某种选择性的方式指出能应用于什么样的质料上了。如果所指的质料当其被给出时是完全以形式化的质料所确定的，那么就不会出现这个问题，而且有人甚至可以用一种看似合理的确定性说明来辩称，数学中就是这个样子。但对于自然科学的主题来说，不能作这样的辩解。要么逻辑形式与其毫无关系（这样就不存在可应用性的问题），要么它们在应用时把那些赋予其科学地位的性质引入原来的主题中，或促使那些性质伴生于原来的主题。要弄清这种伴生性如何发生并不容易，除非逻辑形式能够在某种给定的科学探究中，以某种方式正好选定了它们应该应用于其上的特定主题，并且能够安排或整理那种主题，以便可以得到具有科学效力的结论。因为在物理探究中，能够被赋予“应用”的最小的含义就是选择（包含消除）和安排。此外，只有认识到，无论在什么情况下，选择什么样的实存性质料以及如何整理这些质料的难题总是一种区分上的难题时，人们才会直面这一问题的冲击。因为在纯粹的抽象中，如果形式应用于任何一个主题的话，那么，它们将可以同样地、无差别地应用于所有主题，尽管在自然探究中总是存在着在某种特殊的次序中确定某种特殊的质料的问题。无论人们怎样看待这种一般性的论证，它至少有益于解释确定纯粹而空洞的形式之可被应用的条件之必要性意味着什么。

于是，讨论又回到了这个难题。人们承认，为了在自然科学中得到有充分根据的结论，具有假言全称性质的非实存性命题是必要的。这种考虑在决定性地驳斥了认为足够多的单称命题将会“证明”一般命题的传统经验主义逻辑（穆勒那种类型的）。但是，对于此种立场的驳斥，远非是对关于那种命题的纯粹形式性特征的学说的证实，就像它们被应用于自然科学中那样。问题的症结是：在任何给定的情况下，所应用的全称命题是如何获得那种作为它们可被确定性应用的条件的内容的。应该看到命题函项“如果Y，则X”是为达成任何科学上有根据的结论所要求的形式，但这是不够的。必要的是，Y应被给予一种确定的值，以便X也能被给出一个确定的值。此外，全称命题并不“蕴涵”单称命题，因此在任何情况下，全称命题都不能直接过渡到实存性命题，这是一个公认的原则。例如，假设纯形式“如果Y，那么X”以一些无法解释的方式获得了内容，就像是：“如果什么东西是人，那么它是会死的。”认为这样的命题具有指向力，可用于进行受控观察之操作，以确定某个现存对象是否具有用以刻画“人”类的那些典型特征，并可以从这种特征中保证性地推论出这个类的任何事物都是“会死的”，这是一回事；但是，认为脱离开其在进行受控观察的操作功能时，它仍可应用于实存，这在逻辑上是另一回事。简言之，我们得出的结论是：应用是对实存性质料实施实存性操作的问题，因而至少在自然科学中，全称命题具有一种纯粹功能性的地位和形式。

在上面的例子中，我们假设了纯形式命题函项“如果Y，那么X”以某种方式获得了某个内容，以至于Y具有必然会与“有死的”这个值相关联的意义——“人”。毫无疑问，除非限定值是“可以插入”的，否则，形式上的命题函项即便从操作性上也无法做到只应用于某一实存性主题而非另一实存性主题。那么，这些特殊的值是以何种方式赋予X和Y的？为什么在具体的探究中，我们不能替换值项以产生命题“如果是天使的，那么是有死的”，或者产生命题“如果会生病，那么不朽”呢？这样的例子可以无限增加下去，它们让我们明白：所谓的必然关系是具有确定形式的诸多内容之一，而非脱离开内容的纯形式之一。带有附加效力的问题再次出现了：纯形式如何能获得相关的内容？它们在什么样的逻辑条件下，获得了那些无之便不可能应用于实存、标志着自然科学探究的内容的？

假设命题形式“fRx”已经莫名其妙地以某种未指明的方式获得了足够的内容，以致可以表示为“x被暗杀”。即使忽略质料内容“暗杀”是如何被引入的问题，仍旧存在一个问题：为什么是某个值而非无限多可能值中的任何其他值被赋予x。凯撒大帝、林肯总统和加菲尔德被暗杀，而克伦威尔和乔治·华盛顿则没有，这无疑是众所周知的事情了。但它怎么成为一种公共信息的呢？认为这是因为命题函项这样的形式，将是荒谬的。备选项是：显然，它是通过观察和记录而建立的。其中，必然涉及“暗杀”概念与其他死亡方式之间的不相容区分。从逻辑上讲，这里所指出的析取形式，以及假言命题“如果有如此这般的区分性特征，那么就是‘暗杀’这个特定种类”，具有逻辑上的必然性。但它们都是有待满足的条件，而不是固有的属性；并且，它们只有通过对存在质料进行广泛和复杂的实存性操作才能满足。

假设将形式性的逻辑关系在规定所需满足的条件方面所具有的功能性的和指引性的作用，混同于一种固有的结构属性，其再一个实例是：认为纯粹的形式可以设定所必需的应用。我们用一个常用在当代逻辑文本中使用的例子来说明。通常认为，当用X来代替苏格拉底时，“X是有死的”就成为一个命题。现在“苏格拉底”在这里要么是一个毫无内容与指涉的空洞符号，要么（1）它具有意义，并且（2）它的意义是可被实存性地应用的。如果它是一个形式符号，那么用X来替换它，就不会获得任何东西。如果它在应用中具有意义，那么，该意义绝不是从命题函数得到的，而只能通过观察和可观察的记录得到—这些东西能确定（1）有一个对象苏格拉底存在（或者已存在于某个明确的地方和时间），（2）该对象具有用以刻画人这一类的特点。

命题函项“X是人”是很模棱两可的表达式。只要它用适当的形式（如假言全称命题）表示，那么很显然，由作为要做某事的规则的公式所指示的操作，必然可以确定满足函项中所设定的条件的对象之实存性。换句话说，“X是人”提出了一个难题——要发现能够拥有“人”一词所规定的那些属性的一个对象或一些对象——这样的条件要求“人”的含义已经被确定了。由此可见，实存性上的“应用”必然涉及（1）和非实存性命题的内容已经被选定和整理了相关的一个实存性难题，以及（2）形式上的非实存性命题的操作性使用（以此作为观察手段，用来寻求一种满足所规定条件的对象）。

在这种语境下，有必要重申我们多次论及的对一般命题的两种形式（即类属命题和全称命题）的学理性混淆。因为这种混淆，对于从全称命题直接过渡到有关属于某类的个体的命题以及有关种类之间关系的命题来说，是绝对不可缺少的。支持这种混淆通常的推理步骤如下：诸如“所有人都是有死的”的一般命题（在类属命题的意义上），意思是“曾经活过、正在活着或将要活着的每一个人要么已经死了，要么将要死”（显然是具有实存性涵义的命题）。它被非常正确地认为不涉及任何特定的个体，而只是涉及不定数量的个体中的任何一员，其实存性范围包括许多现在不能够观察到的个体。换言之，它肯定了用以描述人类的一组特征和描述有死类（或者会发生死亡事件的那些个体）的一组特征之间存在联系。它同时（正确地）肯定：最终能保证此种关联性断言的是一个断定“是人”和“是会死的”这些特征之间存在必然联系的命题。若缺少这样的命题，在实存意义上，命题顶多是一种概括，即把某些情形下所观察到的东西扩展至无限多的未观察情形。这样的扩展是通过观察大量实际发生的事件而被“经验地”证实的。但从理论上说，它作为一种概括，在任何时候都面临着无效性，就像“所有的天鹅都是白的”这个命题一样。事实上，使命题摆脱这种不确定形式的是生物学和生理学的探究，它们能表明，用以界定“活”的特征和界定“死”的特征之间在概念结构上有着必然的相互关系。

到目前为止，没有任何混淆。但是，“所有人都有死”这一命题并不是指涉任何特定的个体，也不是专门指涉某个人。这一事实被不合理地解释为：它不指涉任何个体，无论是什么。于是，该命题就被转换成非实存性命题，“如果是人，那么有死。”这一转换之所以不合理，是因为在逻辑上看，提出关于描述一个类的特性或特征（它们是从该类中任何给定的个体中“抽象”出来的）的命题，是一回事；而提出一个命题是关于作为抽象本身的抽象物，则完全是另一回事。缺乏对某一个体而非其他个体的具体参照，不能成为一个命题没有任何实存性参照的理由。从“没有具体的个体”，到从实存性参照本身中进行抽象的意义上的“没有任何个体”，这在逻辑上是行不通的。然而，当一种逻辑学说把类属命题的形式同化为全称命题时，它所采取的就是这种不可能的途径。

在讨论逻辑形式的语境下，明确地指出单称命题和类属命题（具有I和0的形式的所有命题）都具有实存性指涉，而所有具有A或E形式的全称命题都没有实存性指涉。这一事实表明，我们所讨论的这种混淆并不是一个意外的失误，或者偶尔不小心的情况。这种混淆对于某种学说来说，在本质上是必不可少的。它主张：（1）逻辑形式在独立于事实性的内容或概念性的内容的意义上是形式的，（2）但逻辑形式能够有质料上的应用，如果自然科学本质上与逻辑有任何联系的话，那么，这一点就内在地包含在自然科学的方法之中。尽管所有一词出现在“所有人都是有死的”这个命题中（作为命题，它指称的是由分别确定“人类”和“有死”这些种类的区别性特征集合所描述的那一类中的每一个体），但这一命题在逻辑上还是一个I命题——在明确表述的学说中所意识到的这一事实（在另一种语境下），即认为只有具有I和O形式的命题才指涉实存。

我再次回到早前的一种说法，即虽然没有非实存性的如果-那么命题就不可能有科学方法，并且那样的命题是科学方法的必要条件，但它们却不是科学方法的充分条件。假说关涉的是什么才是可能的，而关于可能性的命题对于具有科学地位的探究来说是不可缺少的。假说以一种抽象的如果-那么命题表现出来。然后，它制定了一套实验观察的规则和方法。所指示的操作之施行的结果界定了仅仅具有逻辑连贯性意义的应用这一概念。因此，就自然科学中的方法而言，应用的一个不可缺少的条件是：假设命题的内容本身要由以前的实存性探究所确定，从而使那些内容能够指引进一步的观察操作。况且，即使在这种情况下，也会犯下因为后件被肯定而肯定前件的谬论，除非独立运作的广泛观察已经影响了内容与概率系数之间的被肯定了的关系。任何此种系数的有效性，都以其他实存性命题及其实质性结果为前提条件。

在有序论说中，所有命题本身都具有非实存性涵义；而且，这些命题根据蕴涵（与推理性的不同）功能构成了一种序列，这种有序的论说至多只是提供一种相对于形式是质料的形式这一原则来说的表面上的例外。因为任何那样的系列的连续性次序，在最终命题具有可应用性的所有情况下，都是被实质性的条件所决定的。从理论上或是在抽象的意义上说，就像在数学中一样，蕴涵命题系列的无限多样性是可能的。但是，正如出现在数理物理学中的情况一样，数学性的蕴涵系列，在所有应用性作为条件而出现于其中的例子中，都会使它们的内容和秩序（在确定最终的假设性命题的时候）总是受控于那些形成要求一般化解决之问题的、可被观察到的实存性条件。否则，内容的呈现和排列方式将无法确定，以至于即便该排列就蕴涵的严谨性来说是必要的，但也无法保证它有任何一种最终的可应用性。我们再次被迫得出结论：形式关系表述的是有待从物质上被满足的条件。

我们所提出的这些论证无可争议地表明：在应用在自然科学领域是必要的这种意义上，纯形式（其中，“纯”的意思是“完全独立于与事实性的和概念性的意义内容的关系”）不可能决定应用。一个特殊的例子在最近的逻辑论文中频繁出现，这个例子被认为证明了全称命题能够直接决定有关实存性问题的推论。因此，它是值得审核的，因为这将揭露包含在所讨论的学说的所有实例中的典型谬误。它提到的例子如下：来自如果-那么命题，“如果镇上居民的数量比镇上任何一个居民的头发的数量还要多，那么某两个或多个居民的头发数量是相同的”。当然，毫无疑问，如果前件中语句规定的条件得到满足，那么，后件中语句所提出的事件也将随之出现。但就关于任何现实的城镇里某个人或某些人的实存性命题而言，这个命题不过是提出了一个疑问：这些条件被满足了吗？

这个问题属于质料事实方面的。它只能通过独立的、由正在讨论的如果-那么命题所指引的观察操作来回答。当如此使用这个命题时，它使我们不必细数镇上每个人头上的头发数量。我们仅需要对能够发现的头上有浓密头发的人的头发的数量有一个可靠的估计，同时对镇上居民的数量有一个可靠的估计。考虑到这些实存性对材料——某两个人的头发数量是相同的（或不同的），这个推论命题就有了保证。在一个只有少量居民的小村庄里，结论很可能是他们没有相同数量的头发。在一个非常大的城市像伦敦或纽约那样的情况下，观测与料就足以担保实存性命题：两个或多个（非指定的）人的头发数量是相同的。但之所以这样，并不是因为这个命题“蕴涵”在所讨论的假设性命题中；而是因为通过对实存性材料的观察而进行的确定，同时把相关的假设性命题看作选择和排列它们的规则。

对这两种不同的逻辑形式的命题的相似性混淆，也出现在作为说谎者的埃庇米尼得斯和克里特岛人这个臭名昭著的例子中。克里特岛人埃庇米尼得斯根据一个实存性命题，断定“所有的克里特岛人都是说谎者”。因此，有人认为，矛盾或“悖论”不可避免地出现了。除非埃庇米尼得斯说真话，否则就得不出所有的克里特岛人都是说谎者。但是，如果他说的是真话，那么就可以得出命题“某些克里特岛人说真话”，因此命题“所有的克里特岛人都是说谎者”就是假的。只要一点点分析就可以表明：如果命题“所有的克里特岛人都是说谎者”是类属命题，意味着说谎的性格是使作为一个类的克里特岛人区别于其他类的古希腊人（或其他人类）的典型性特点之一，那么，这就不能推出每一个克里特岛人都必然是说谎者并且总是说谎。因为说谎的特点只是在与其他因是实存性而成为偶然性的环境的或时空的条件相结合时，才是描述克里特岛人的。换句话说，如果这个命题是类属命题，某个克里特岛人有时也会说真话，而这并没有什么矛盾。另一方面，如果“所有的”这个模棱两可的词在是克里特岛人和是说谎者之间有必然联系的意义上被解释的，或作为一个全称而非类属命题的内容的意义上来解释的，那么，就任何实存性命题而言，它便提出了一个疑问。如果当埃庇米尼得斯说“所有的克里特岛人都是说谎者”时，他说了真话，那么根据定义，他其实并不是一个克里特岛人。因为对后件的否定，也否定了前件。另一方面，如果通过对充分的实存性材料的观察发现，他在撒谎，那么就必须修改正在讨论的这个全称假言命题——当把全称命题应用于实存性条件时，总是出现的这种事态产生了与全称命题要求不符的材料。分析的结论是：仅当这两种形式（类属的和全称的）混淆时，才会产生所谓的矛盾。

完全同样的分析也适用于这样的实存性结论：在一夫一妻制的国家，可以推论出丈夫和妻子的数量是相等的，而无需经过计算丈夫和妻子的实际数量那样的繁琐过程。这是因为，需要有独立的观察操作去确定某个给定的国家是否实行一夫一妻制。同样的分析也存在于这样一种推论事例中：在一个给定的大厅中，座位的数量和人的数量可以被确定为相等的，而不需要计算每一方的数量。同样，这也是因为需要有独立的观察才能确定是否实际上每个座位都有人坐。在所有这些情况下，谬误的根源都在于：首先，这些情况中的材料已经由事先的实存性操作准备好了；其次，这些材料得以备好的方式被忽略了，而这里的忽略就等于否定。

到目前为止，我们的讨论已经从反面证明了逻辑形式乃是质料之形式这一理论，即矛盾在另一种选择的基础上才会出现。对这一理论的正面支持是这样一种事实：在科学探索中，事实性的或概念性的具体内容与它们得以安排的形式，都是在彼此严格对应中被确定下来的。在这一关节点上，若要证明这一说法的合理性，就是重述整个前两篇中的分析和结论。我们要通过考虑出现在类似主题中的原则来接近问题的关键点，而不是从事那个多余的工作。逻辑学的基本范畴是次序。这也是所有技艺的基本范畴。在每一种受到理智指引的过程中，质料内容的普遍秩序就是对应于结果的手段之秩序；实际的实存性质料提供了“填充物”，而质料作为手段的地位，要求进行选择和重新排列的操作，以便建立特殊的相互作用以产生预期的结果。起初，当我们希望得到某一确定结果时，可能会使用到处于“自然的”或原始状态的某些实存性材料——就像手头的一根棍子，可以很方便地用来撬石头。在这种情况下，所需的观察操作仅仅是对合适的棍子的直接选择。但是，当我们对某类结果的需要是复发性的时候，选择能够使它们自身构成工具——这种工具能够在各种各样的时空环境下极为迅速而经济地产生预定的目标——的那些材料，就是比较明智的了。于是，材料被选择并塑造成为各种杠杆。在特定的文化水平上，杠杆可能仅仅是一个撬棍。但随着需要的发展，需要在更广泛而多样性的环境下产生结果，此种杠杆原理就会被扩展和完善，以包括各种物理设施；用科学的方式来表述的话，就是这些设备利用动力法则获得了机械上的“优势”。因而带有各种技巧的专业技工就出现了，即使没有理解用科学的方式表述出来的法则，而这些东西全都是杠杆，因为尽管它们有不同的大小和形状，但仍拥有作为与特定的独特种类之结果相对应的手段的功能性关系。

因此，每一种工具，每一种器械，每一种家居装饰品，每一件服装，每一种用于传输和通讯的设备，都在实践性和实存性地体现了从原材料到有意选择和整理之手段的转化。因此，它们都是形式化的质料；或者说，它们是从形式方面进行的表述，以便有质料的形式。形式和质料可以彼此颇具整体性地联系在一起，以至于看起来椅子就是椅子、锤子就是锤子，与我们说石头就是石头、树就是树的意义相同。因此，这里的情况类似于说：先前的探究已具有如此标准化的意义，以至于认为形式是质料固有的，从而摆脱了后者的功能；或者说：质料被认为好像其自身就是纯形式的一样（就像在我们已经批评的那些形式主义争论中的某些情况一样）——之所以得出这样的结论，正是因为形式与质料实现了完全的整合。

这些实例体现了本章第一节所陈述的那条原则，即由于质料与操作为服务特定的目的而彼此适应，质料便常常获得了形式。然而，在这里把它们提出来，是为了一个虽然不同但却相关的目的——即为了阐明这一原则：在所有关于形式化质料的情况中，形式与质料的建立、发展和功能的建立，都是彼此严格对应着的。每一件工具（在广义上使用这个词，以包括任何一件所建构的器械和设备，并用它们来达到特定的结果）都严格地属于关系性的，这种关系性的形式就是对应于结果的手段的形式，而任何能充当有效手段的东西都具有某种物理性的存在。

1.可以对抽象的手段-结果关系进行形式上的分析。它涉及质料性的手段和程序性的手段的对应，这种对应性在工具、器皿、服饰制品等领域中被表现出来，在材料和技术彼此相互适应的事实中表现出来。对原材料进行技术性的重塑的过程被发明了，以至于它们能够重塑原始材料，以使后者的功能成为一种手段。这些过程的应用方式，必须正好能够应用于所处理的那些质料。技术一旦被发明，就能够独立地发展。随着这些技术的完善，它们不仅能迅速而经济地转化旧材料，而且还能应用于那些以前不能用作手段的原材料。由此所产生的新的形式化质料就导致了技术的进一步发展，并且如此一直发展下去，从理论方面来说，没有设置限制的可能。

2.任何一种技术或一套程序性手段都必须满足某些秩序性条件，以使其具有形式性的属性。在重塑原始材料时，最原始的技术程序也必然要有确定的起点、终点，以及连接两极的中间点。它在形式特征上有起始、终结和中间——后者非常重要，它甚至可以界定“手段”一词。首先、最后和中间的有序传递关系是形式性的并能够被抽象的，因为它构成了诸特征之间一种必然的相互关联性。改变它们中的任何一个，其他的也都必然要被修改。把这里得出的观点进行一般化，就会出现序列性次序这个概念，从所有理智活动的视角来看，这种序列性是作为形式化的质料所必然具有的一种秩序。

3.因为所提到的第一点（材料和程序性的手段或技术之间的共扼相符性），程序的序列性次序决定了技术应用于其上的那些材料中的形式性关系。即使用来产生客观结果的原始简单技术，也能在材料典型性属性上产生某种原始的差异性。某些材料被发现“有利于”服装制作技术；其他材料则被发现“有利于”制作储存或烹调材料的用具，等等。随着冶炼技术的发展，矿物材料之间的特性差异就自然地（可以说）被关注到，从而区分出不同种类的金属。这里体现的原则在下面这种说法中被一般化了：当且仅当材料被判定为与实现特定客观结果的操作相关联的手段时，用以描述不同种类的差别性特征才会被发现。一个实现了的目标（比如衣服）就是类属的。但实际情况却是：不同种类的衣服适合于不同的季节、场合和社会等级。不同的质料可以“有利于”这些不同的目的：一种适合冬季，另一种适合夏季；一种适合战争时期，另一种适合和平时期；一种适合牧师，另一种适合长官，还有一种则适合“普通的”人。诸种之间相互区分又相互关联，它们彼此之间严格地对应。

如果我们回到之前关于探究生物学模式的一章中所举证的那些考虑，就应该注意到：序列性的次序的形式关系在有机生命中就有预示。有机生命有需求（在实存性张力的意义上），而这些需求只能通过建立起一种经过改变了的客观事态才能被满足。这种结束或者说完满状态的实现，要求有操作的有序系列彼此相适应，以便它们能相互适应达到最终的结束。如果我们把有序关系中关于手段的这些自然有机体实例与结果相比较，就会发现一个重要的不同点。就活动与物质条件之间的关系而言，“终点”在前一种情况下有结束或终结的意思。而在后一种情况下，“终点”则有一种附加的特征。在被预知或打算的情况下，客观的结束变成了期待中的目标，并因而可用于指引技术和材料的理智性选择与安排。但是，两种情况有一种共同的关系模式。

从实践方面看，我们已提出的那些考虑就像是老生常谈一样，让人感到十分熟悉。因此，在讨论逻辑理论时，它们可能看起来并不值得关注。但它们却是中肯的，因为它们产生了许多在逻辑理论中具有根本性意义的观点。其中的主要考虑可重申如下：（1）就探究而言，质料获得形式，这并不是一个毫无理由的假设。（2）每当质料变为形式化的质料时，一定会包含一种确定的秩序，即序列性的秩序。（3）这种形式性的秩序，可以通过那样一种方式而被抽象和表述，从而使其涵义在论说中得到发展。（4）从有机生命的有序关系，到文化艺术中刻意安排好的关系，再到可控探究的这些典型性特征，有着发展上的连续性。

在这种关联中，不要混淆潜在的与现实的范畴，这一点很重要。原始材料必须具备那样一些特质以允许并促进特定操作的完成，以使形式化的质料成为目的之手段。但是，（1）这些特质只是潜在性的，并且（2）它们被发现为潜在性的，仅仅因为施加于它们之上的操作（为了它们能转化为通向结果的手段），才算是潜在性的。在开始时，这些转化性操作可能是随机的和“偶然的”。在文化的发展中，它们变得如此具有可控性，以致成为实验性的（在这个词的科学意义上）。第一点可以在下述事实中得到阐明：随着动物生命的出现，某些质料成了食物。这样，我们或许会说，这些材料一直都是食物，甚至可以说，它们在本质上或者说“生来”就是食物。这种观点就混淆了潜在性与现实性。回顾一下，我们可以正当地断言：这些材料都是可食用的。但就现实性而言，它们并非食物，直到它们被吃掉和消化掉为止，也就是说，直到完成了某些操作，把那些可以构成某种特殊食物的新特性赋予原材料为止。第二点可以在下述事实中得到阐明：可食用、不可食用和有毒性之间的差异，只能通过尝试和检验的过程才能被发现。甚至被视为原始的部落也发现了进行技术性操作的方式，以把在天然状态下有毒的东西转化为补充营养。特质作为潜在性是通过实验性的操作来被确定的，这可以通过以下事实得到证明：随着物理化学操作的扩展和完善，可食用的东西的范围已经无限地扩大了。例如，不论以“人工”的方式生产牛奶的尝试成功与否，这都完全是否有可行技术的问题，而不是理论的问题，除非在用某种理论来指导实践性的努力是必须的这种意义上。

正如我们前文所看到的，构成描述种类的典型性特征的那些特质与操作的这种相关性，以及这些特质与操作之施行的发现的相关性，对于那种认为是内在本性或本质界定种类的经典理论来说，是致命的。这在逻辑理论上，还有另一个重要的影响。前面的讨论，只针对明确划定形式与质料之间界限的理论。但也还存在一些逻辑理论，它们赋予逻辑形式以直接的本体论地位，虽然是以一种与亚里士多德逻辑不同的方式。这些理论依赖于事实的基础。因为它们认识到，逻辑形式只能以一种完全无理由的、外部的和武断的方式应用于实存性材料，除非实存性材料自身就具有呈现这些形式的能力。但是，这种合理的洞察，因为刚刚提到的完全混淆了潜在性与现实性而遭到曲解。一般实存必须能够呈现逻辑形式，而且特殊实存则必须能够呈现差异性的逻辑形式。但是，为了赋予这些能力或潜在性以现实性，那些构成受控探究的操作就是必要的。

在最近的理论中，逻辑形式以一种特殊的方式被赋予直接性能的实存性地位（而不是通过它们在探究中的功能得到的间接实存性地位），这种特殊方式乃是对不变量的一种形而上学性的解释。在物理学探究中使用某些数学性地表述的常量，就其本身而言，是对不变量在逻辑学上的意义的解释。如果我们把其中所涉及的东西一般化，那么，逻辑形式就是不变量。例如，如果没有蕴涵关系作为常量的话，就没有有序的论说；同样，如果没有作为不变量的关于特性的形式合取关系的话，就没有理由推论到关于种类的描述性确定性。“不变量”对于产生有保证性的知识的探究行为来说，是必要的；但是根据这一事实，并不因此就能得出：它们在知识所关涉的那种实存性上或对于实存性来说，是必需的。在逻辑形式有实存性指涉这样一个有效原则的掩盖下，其实已经倒向了另一个相当不同的原则，即某一特殊的关于实存的形而上学概念；然后，这个具体的先定概念又被用于确定逻辑不变量的涵义。如此一来，逻辑便成为他律的，或依赖于一个本身并不能通过逻辑上的确定方法所达到的形而上学原则。此外，在科学的程序中，一个常量与一套特定的操作是密切相连的，而我们所批评的这种观点却假定不变量绝对地如此。

形而上学假设的外部特征特别明显，因为根据定义，它关注的就是实存；然而，对实存的探究却只能达到具有某种次序性概率的协同性因素的结论。而且，很明显，一个可能的常量的概念和一个不变的结构是自相矛盾的。此外，概念是没有根据的。因为在（通过探究）获得保证性结论时，不变形式的必然的操作性存在，完全可以根据探究本身的充分受控行为来解释。可靠的知识之形式和实存之形式之间的一一对应性的假设，并非产生于探究逻辑内部的某些必要条件。它来源于某种外在的认识论的和形而上学的根源。

前面讨论的批判性和建设性部分的纯粹结论是：当“与”意指两个词之间的外部关系的时候，那么，短语“逻辑与科学方法”就没有任何有效的含义。因为科学方法既构成又揭示了逻辑形式的本质。它在现实的探究实践中，构建了它们；一旦得以形成，它们就能被抽象：自身能够用于观察、分析和表述。与此结论相关，简要地概括一下前面一些讨论的成果是恰当的。

1.现实的科学进步史以物质设备及相关技术——复杂和精致形式的仪器以及明确相关的使用仪器的技术——的发明和应用为标志。即便是在上半个世纪中，天文学已经通过下述质料性探究工具的发明和使用而发生了革命性的变化：光谱仪、测辐射热计、紫外线玻璃、用于摄影的化学乳剂、使用铝代替水银来涂层镜片，以及那些使80英寸直径的镜片和200英寸直径的镜面的制造成为可能的技术。

2.因此而发现的新与料所做的，远不止是提供用于确认和完善旧观念的事实。它们建立了一个新的问题次序，其解决要求一种新的概念性指涉的框架。特别是：正是通过新的工具和技术的使用，在以前被视为固定不变的东西里才会发现变化和变化的关系；自从17世纪以来，这一进程就在以一种加速度的方式进行着。与料性质上的这种变化既是普遍采用实验方法的源泉和结果，也是普遍采用新的概念次序（这些概念是实验方法的成功实施所要求的）的源泉和结果。

3.从概念性的方面来说，这种科学革命伴随着数学概念的革命；同样地，在一定程度上是其原因，一定程度上又是其结果。只要欧氏几何被视为数学方法典范式的模型，数学的基本范畴就只能应用在固定于一定限度内的那些结构。只要什么地方承认了必然要有一般原则，那种基于最初而永恒真理的演绎逻辑就会保持为至高无上的。在科学探究中，由于从根本上开始强调变化的相互关联，笛卡尔的解析学、微积分及其后来的发展就得到了召唤；而数学概念的独立发展，在它们应用于实存的时候，就发现了关于相互关联之变化的新的、更为精致、更为广泛的问题。

与此同时，一个与实际科学实践相一致的、真正的逻辑经验主义理论的发展，由于固守某种在前科学时代所发展出来的观念次序而受到严重的阻碍和扭曲。这种概念框架与科学探究的实际进程和结论的不相容性，反过来强化了非经验性的先验论学派的立场。穆勒的逻辑学作为早期类型的经验主义的代表，一方面真正地把科学方法看作有效的逻辑理论的唯一来源；另一方面，由于倡导那些在现代科学方法兴起之前所提出的感知、殊相、概括等观念而误解了这种科学方法，它对这两者的结合值得关注。结果是：他否定了概念的重要性；把假说降低到次要的“辅助”位置；坚持认为仅凭殊相就可以“证明”概括性，等等。

本章里，不论批判性部分还是建设性部分，都是为详细考察那种体现于数学和自然科学中的科学方法的逻辑而准备的。从一定意义上讲，本文讨论话题的次序与其内容的实际发展次序相反。因为正如刚才指出的那样，已提出的这些具体的逻辑解释表现了对科学方法之逻辑条件和涵义的分析结论，然而之前章节中的那些解释在大多数情况下，已经在它们的逻辑地位的基础上接受了它们。因此，在接下来的章节中，我们既要对先前所发表的观点的最终基础作出明确的表述，又要对其有效性进行检验。

因为数学在物理科学中的关键作用，也因为数学主题特殊的形式化特征，在我们依次讨论的话题中，数学论说的逻辑条件将首先开始。

二十、数学论说（选）

任何逻辑理论对于区分数学概念的逻辑特征和关系的逻辑特征的能力，是对其主张的严格检验。像本文所提出的这种理论，尤其要满足和通过这种检验。因为它有着双重任务：一是公正地对待数学命题证明的形式特征；二是不仅要表明此种形式特征与探究广泛模式之间的一致性，也要展现数学主题乃是此种模式内在的发展结果。出于上一章最后一节所提出的那些理由，对于数学概念和关系之逻辑条件的解释，必须能够说明这样一种论说形式：它从本质上讲，并不必然有实存性指涉；但同时又能提供无限广泛的实存性指涉的可能性——数理物理学上有这方面的典型例子。

1.转换之作为基本范畴。探究的目的（这里的“目的”，意思既指是指期待中的目标或控制性意图，又指终结性的结束）是建立一个统一的解决了的情境。这个目的的实现，是通过建立分别为质料手段和程序手段——即事实与料和概念意义——的主题。这些工具性主题的建立，要通过一些操作，把既有的问题情境的实存性质料朝着给定的方向作实验性的修改。与此同时，由解决方案的可能性所组成的那些概念性主题被如此构成，以致能够指引实验性选择和安排的操作，并由此实现实存性质料朝向被解决了的情境之目标的转换。此外，假若探究是受控制的，那么，那些代表解决方案之可能性的观念必须是通过命题表述的；而这些命题必须发展成有次序的系列，以便产生最终的一般命题，从而能够指导明确地适用于相关具体问题的质料的操作。否则，推理就很不成熟，以致会产生一个没有根基的命题。

简言之，有序论说本身就是按照严格（或必然的）而富有成果的意义替换规则所开展的一系列转换。只有当一套彼此关联的抽象特征系统被建构起来时，才可能有这样的转换。例如，常识性概念就不能满足系统性关联的条件。于是，当它们在科学上被修改以满足这样的条件时，就会经历内容上的变化。因而，根据满足确定性、逻辑性条件的那些方法规则对概念内容所进行的转换，不仅包含在论说行为中，而且包含在概念的形成中（即便在论说打算拥有最终的实存性应用时，也会进入其中的概念）。

所包含的逻辑规则可以重述如下：（1）论说的主题或内容包含着诸种可能性。因此，这些内容都属于非实存性的，即便它们在建构和安排时根据的是实存性应用。（2）作为诸种可能性，它们要求以符号来表述。符号化在论说中并不是一个在实际中被发现不可缺少的方便之举，也不是对本身已完满的观念进行一种纯粹外在的装饰。它是关于可能性之论说的本质。然而，在其功能性的能力方面，符号与实存性材料有着相同的逻辑地位。就因为这个原因，它们自身就受制于转换。从历史上讲，符号意义借以进行转换的那些操作，最初都借用物理性操作并与其紧密结合——这显示在至今仍用于指代理性操作的一些语词中，大体上，这样的词有思虑、沉思、反思，以及更为具体的词语计数和计算。随着意义被修改以满足一个相互关联性的体系中的成员所施加的那些条件，操作也要被修改以满足新的概念材料的要求。这些操作变得如同它们所应用于其上的那些质料一样抽象，因此具有了一种需要以新型符号序列表达（而且只能够如此表达）的特征。

在本章之前的章节中，我们已经关注了意义和命题在论说中的关系；在那里，论说是对照着某种最终的实存性应用而展开的。在这一类型的论说中，应用性被搁置或保留起来，但关于概念的内容方面，其与应用性的联系并没有消除。然而，当论说的展开只是为了满足自身的逻辑条件或者（就像我们所说的）是为了其自身的缘故时，主题不仅就直接指涉而言，是非实存性的；而且其自身的形成基础也完全没有实存性指涉，甚至不涉及最为间接、迟缓和遥远的那种。这就是数学主题。该主题完全是抽象的和形式的，因为它完全摆脱了强加于概念材料（这种材料是根据最终的实存性应用而构建出来的）之上的那些条件的束缚。完全的自由度和完全的抽象性，在这儿是同义词。

探究语境中的变化，在其意向和内容上产生了变化。物理学概念不同于那些常识概念。因为它们的语境并非那种享有性的使用，而是要建立系统性的广泛性推理的条件。当对实存性应用的所有指涉都被消除时，更进一步的崭新的语境就被提供了。结果并不仅仅是一个更高级别的抽象性，而是一种新的抽象次序，对于它的建立和控制只能借助于抽象关系的范畴。然而，为了确定有保证性的实存性命题，论说中意义转换之必要性提供了数学与一般探究模式之间的关联性环节。

语境变化对于操作意向和内容的影响，在前一章所举出的一些例子中曾有过说明。拥有一种蕴含性的审美特质的选择和整理的范畴内，被包含在历史作品之中。当这些范畴从原来的语境中脱离出来时，便产生了历史小说。随着更进一步的发展，它们又会产生带有独特内容的“纯”小说。以相似的形式，音乐并不曾在自然中或者在言语中创造声音及其有序的排列。然而，音乐在具有其自己独特主题的活动中，形成了声音及其韵律性排列的潜在性。这与数学发展的类比并不牵强。数值确定性最初是在以缺乏和过盛为标志的质性情境中，以作为对相对于物质性结果的物质性手段进行经济而有效的调节之手段出现的。但是，在其中所涉及的操作中，不仅不存在任何东西阻碍它们自身的发展，而且它们促进了这样的发展。

对所涉及的抽象的完全实行，是一个缓慢的历史过程。无疑，数首先是与物紧密联系在一起的。例如，“2”，意味着两个手指或两头绵羊。就像词语几何仍然表示：几何概念是与测量物理面积的物理性操作联系在一起的。希腊数学家和哲学家部分地摆脱了实存性指涉，但是抽象仍没有完成。算术和几何概念不再指涉特殊事物，但仍未摆脱所有本体论参照。因为它们被认为指称了自然本身中所存在的界线，而正是通过这些东西，自然表现为一种可理解的结构；而且通过它们，界限才会发生改变。既然几何学是关于这些实存性的宇宙“尺寸”的科学，那么，数便从几何学上被构想了。数学主题从任何一种本体论参照中解放出来的故事，就是经过一系列诸如无理数、负数、虚数等等那样的危机后所获得的逻辑发展的故事。

2.全称命题的两种类型。前面导言性的评论旨在表明，转换范畴可以延伸至整个探究模式：从（1）为了保证最终的判断所要求的实存性转换，到（2）论说中的意义，再到（3）完全抽象主题的形式关系（在其中，转换作为抽象的可能性，采用了抽象中的可转换性形式）。作为最后所提到的那种发展的结果，全称命题的两种逻辑类型必须区分开。在前文的讨论中，我们已经提出：形如作为抽象特征之关系而被表述出来的物理定律，是一种全称假言命题。例如，万有引力定律就是对于质量、距离和“引力”这些抽象性特征之间的相互联系的表述。但是，虽说该命题的内容是抽象的，然而由于该命题是根据最终的实存性应用的可能性而构建起来的，其内容就会受到那种意图的影响。此种假设的共相并没有穷尽它们被应用于其上的可能的实存性事件，因此可能为了支持其他更加胜任或适合当前主题的假设性共相，而不得不予以抛弃。这通过从牛顿的万有引力定律到爱因斯坦的公式的转变而得到了说明。尽管在这种意义上，两者都是假设性共相，但它们每一个在经验上都是另一个有重要意义的对立。在这样一些命题中（包括所有的数理物理学中的那些命题），严格的数学相位居存于和相互支持的命题的必然关联中，而不是它们的内容中。

但是，在数学命题中，比如2+2=4，对内容所给予的解释是与任何质料上的考虑无关的。物理定律的最终应用，即便是作为全称假言命题表述出来的，也要求赋予相关词项或内容以某种被优先选取的，因而也是某种限定性的解释。数学命题的内容，摆脱了任何优先解释的必然性。以力的平行四边形这一物理学定律为例，它提供了最终可应用于实存性的确定性中的计算基础。在此定律中，“力”的地位影响着“平行四边形”的意义；它把其他方面的数学概念限制在具有方向和速度属性的主题之上。也就是说，它要求具有限制性的、所谓优先选择性的或特权性的解释。作为数学上的东西，数学命题的内容摆脱了那些要求进行任何限制性解释的条件。除非意义或解释是为满足系统内部的可转换性条件而从形式上被赋予的，而且没有任何系统之外的指涉，否则，它们就没有任何意义或解释。在“意义”在任何具有即便间接的实存性指涉的概念中所包含的意思而言，这些词项并没有任何意义——这样一个事实或许可以解释一种观点，即数学主题不过是一串任意记号。但是，在更广泛的逻辑意义上讲，它们具有一种意义：这种意义专门而且全部是根据它们彼此之间的关系——取决于对可转换性条件的满足性——而构成的。因此，这种类型的全称假设命题在逻辑上是可以通过形式关系进行证明的，因为形式关系决定着词项或内容以及“质料”，虽然它们在任何具有最终实存性应用的全称命题中不能这样决定。在数理物理学中，存在于诸命题之间的这种类型的关系，在此就变成了内容的决定因素。

总结来说，意义及其关系的转换在被引导以在实存性转换中产生最终结果的论说中，是必要的。其中所涉及的关于转换的操作，其自身能够被抽象；当被抽象和符号化之后，它们便提供了关于质料的一种新的秩序，在那里，转换变成了抽象的可转换性。要对发生在这种新维度主题之中的转换进行控制，只能根据对抽象可满足性条件的满足进行。

3.可能性范畴。关于数学主题的这种理论所继续的重点，已经被完全置放在对探究主题的操作性的确定上。这种操作性确定在此特殊语境下的逻辑重要性，可以通过对比，对关于（与可转换性相关的）可能性的操作性解释与对其本质的另一种理论解释来阐明。这另一种理论的不同之处，在于它坚持对可能性的本体论解释而非操作性解释，因为它将数学（和逻辑）形式与被认为具有本体论地位的可能性世界联系起来。可能性世界要比现实性世界更加无限广阔，而且由于凡是现实的东西都必定首先是可能的，因此在逻辑上，它就为任何现实之物提供了最终的限制性基础。逻辑和数学对于实存的可应用性，相应地被解释为可能性的存在世界与现实性的存在世界之间一般关系的一个特例。我们这里之所以谈论这一理论，是因为通过对比的方式，它使我们可以更清楚地阐明对可能性的功能性-操作性解释的内涵。因为我们的问题不涉及那个范畴的基本重要性，而是对于它的解释。

找到一种说明性例子，把我们的讨论领域由哲学理论之间的直接冲突转向专门的逻辑问题，这并不是一件简单的事。不过，一个可能的着手处是国家地图与地图所代表的国家之间的关系问题。这种说明不过是一个着手处，因为显然不能期望它提供一种直接的类比。这是因为，地图所绘制的国家是实存性的存在世界中的例子，而且地图把地图上的国家看作实际存在的。例证作为类比的效力在于别的地方，即在于地图和国家之关系的同构中，而独立于后面这一关系的实存性本质。

显而易见，这里所讲的同构是关系的一种，这在它并非实际存在于地图上所标记的点与被绘制的国家、城镇、河流和山脉等要素之间，而是存在于为前者所维持的关系与后者所维持的关系之间。地图中的上下关系同构于国家中的南北关系，左右关系同构于东西关系。同样地，地图上的方向和距离关系与国家中的方向和距离关系是同构的，而并非对于现实存在的原样复制。这个例子将用来指明：维持地图中的各关系与国家间的各关系之间或关系模式之间的同构关系，应该在一种功能性和操作性的意义上来解释。

一开始我们可以先指出“关系”一词的含糊性。它不仅代表实存性的关联、命题中词项之间的逻辑关系、命题对于实存的指涉或应用——而且代表关系。含糊性的第一组与我们对数学中同构关系的讨论无关。因为虽然根据一般的逻辑原理，有必要在国家的实际关系与地图作为命题的逻辑关系之间进行区分，还要区分这二者与地图对于国家的参照关系；但是由于数学关系引起而被认为是同构性的那种存在次序是非实存性的，这些区分与现在的问题并不相关。然而，关于地图和被绘制的国家之间的“关系”（参照）必须指出两点，因为这两点关系到同构性的本质。

（1）地图中的那些关系与国家中的那些关系相似（在该词的技术意义上），因为两者都是由同样一套操作设立起来的。于是，就该关系间相似性乃是同构性的一个例证而言，它并没有阐明被认为居存在数学中的本体论同构。因为那种学说，正好处在对立的一极。它并不认为，决定数学主题之关系的那些操作也能确定“可能性世界”中的那些关系。然而，我们这里所采取的立场却认为，决定数学主题的那些可转换性操作就是或者说就构成了可能性世界（仅就逻辑上所赋予那个词组的意义而言）。

地图中的那些关系与国家中的那些关系相似，因为两者都是由同一组操作设立起来的。这一说法很快就能明白，只要注意到这样一个事实，即二者都是施行可用勘测以这个词语来总结的特定操作的产物。国家中的各个要素当然是彼此实际关联的、但是，就知识而言，就关于这些关联可以作出的命题而言，直到这个国家被勘测位置，它们都是完全不确定的。当或一旦国家得到勘测，地图便产生了。当然，在地图和被绘制的国家之间存在着一种共同的关系模式。因勘测操作不充分而在地图上导致的任何误差，也都可以在关于国家中诸关系的命题中被发现。认为地图中的关系和国家中的那些关系结构（在非操作性的意义上）相似的那种学说，是把在事实上已经通过开展有条理的勘测操作而被完善的那些地图与地图由以建构的那些操作分隔离开的结果。当命题不根据它们得以建构的那些手段而进行解释时，它就说明了总会出现的那种谬误。

（2）若把地图作为一种关系模式来看，那么，此种模式的“关系”对于被绘制的国家中的“关系”而言，就是功能性的。它是以它所指引的进一步操作为媒介而建构起来的——而且，那些运作的结果提供了检验地图之有效性的手段。地图对于像旅行、规划出行路线、跟踪人货运行轨迹那样的操作来说，是工具性的。如果这样的考虑要运用在与数学相关的主题中，那么，当然必须注意：两个主题分别所指引的操作是分属不同形式的。在数学中，操作及其结果并不像地图与旅行等等及其结果的关系中那样，是实存性的。但是，就数学主题本身的发展而言，此种关于操作的功能性使用的类比是精确的。所给定的数学主题的任何指涉在任何时候都不是指向本体论的可能性世界，而是指向转换的进一步操作。

就地图可用作一种数学说明而言，同构关系可在基于不同投影系统所绘制的各种地图彼此之间的关系中得到明确的例示。基于麦卡托投影法绘制的地图中的关系模式，同构于基于椎形、圆柱形及立体投影法绘制的地图中的关系模式，尽管在理论上仍然可能有其他的同构投射系统。在麦卡托地图中，两极地区存在着形态学上的放大；在圆柱形地图中，它们的形状是歪曲的，尽管面积是正确的；在立体平面地图中，面积的摹制是正确的，但地图上各个部分的比例不是恒定的，等等。当地图的指示性功能不被考虑时，一定可以说：任何地图都不是“真的”，这不仅因为所提到的那些特殊的“歪曲”，而且因为在任何情况下，地图都是在把一个球形物表现在一张平面图上。根据功能性的解释，任何系统下的任何地图都是“真”的（即有效的），假若它的操作性使用产生了打算通过地图的服务所带来的结果的话。仅就它们的模式之间的关系而论，会有同构性的，因为一个典型性关系可以全面而专门地转换为任何一个其他的关系。

就对数学主题的阐释而言，上一段的所包含的内容介绍了关系和关系在用语上的含糊性，涉及相关性和关系之间的形式区分。在相关的意义上，这两个词项相互关联，每当它们除了所指定的具体关系外，还包含个体或种类（它们具有在所指定的关系之外的一些特质和关系），也就是说，当所谈论的关系没有穷尽相关联词项的意义的时候。父亲和儿子是相关的词项，不论应用于两个既定个体还是两个种类。但是，作为个体的父亲和儿子，都有许多其他的特质和关系。实际上，它们之所以彼此联系，正是因为他们还有其他的特征。但是，父子关系是“关系”穷尽了词项的意义的词项。这里的不同之处，就是语言学上分别用“具体的”名词和“抽象的”名词所表达的东西。此外，并没有任何必然的关系，使那个作为父亲所关联的人同时作为哥哥所关联。他是不是哥哥的问题，是需要通过观察来决定的一个事实性问题。但是，可能存在一个关系系统，使得在该系统之内父与兄必然关联起来；同时，根据其系统结构，它们二者都同叔、侄等等相互关联，就像在抽象的族谱表中那样，毫无遗漏地把每一种关系都包含在一套关于亲戚的可能性系统中。在普通的麦卡托地图中，如果极地区域被认为是与赤道区域相关的（在界定的意义上），就会存在歪曲的陈述。但是，既然有了坐标来界定投射系统，那么，它们就在系统内部拥有了一种必然的关系。于是，当说到数学主题包含着关系的关系时，这种说法是含糊的。对于个体和种类来讲，“关系的关系”总是或明或暗地包含着对质料（个体的或种类的）的指涉——它们的存在与不存在，只能通过观察来确定。如果不是这样指涉那些作为所关联的关系词项的因素，它（关系的关系）就是一个荒谬的概念。不过，关系从其本质上看，是在系统中相互联系的——该系统的本质在数学上，是由假设集来确定的。

因此，属于既定序列的一套被界定的关系系统——就如地图投射法或抽象的谱系图那样——构成了该系统内部转换操作的根基。实际上，这个说法太弱了，因为它没有指出：具有内在联系的意义系统，正是如此界定以使一组转换操作成为可能的；在其中，根据形式性的基础——那些由系统的假设所决定的——任何给定的转换在逻辑上都是必然的。在弱化的意义上，基于不同投射系统所绘制的地图中的关系和抽象的宗谱系统中的关系，都具有数学的性质。但是，专门的数学是通过对可能的转换（可转换性）操作的抽象而构成的，因此其主题是以在所举的例子中并没有体现的方式被普遍化的。虽然不能说：此种对于关系同构模式的操作-机能型解释反驳了那种认为数学具有本体论基础的解释，但可以说：它使那种解释对于逻辑理论是不必要的，让它留在任何形而上学理论的位置上，必须在形而上学的基础上去讨论支持还是反对。

4.公设法。前面的讨论旨在表明一般的探究模式反映在数学上，以及如何反映在数学上——那种包含在所有实存性探究中的抽象功能本身被抽象化和普遍化。接下来的讨论，将试图更加具体地表明此种模式如何在数学的公设法中得以展示。

（1）每一种探究的开始都是源自某个给定的问题主题的出现。在它的早期历史中，严格的实存性主题的问题提供了一种时机，让数学概念和程序成为解决这些问题的手段。随着数学的发展，这些问题被数学质料设定为给定时间下独立自存的东西。在数学内容概念性的、非实存性的本质和数学主题在任何给定的时间地点下的实存性地位之间，不存在矛盾。因为后者是一个历史产物和历史事实。处在给定时间下的主题，是相对而言“给定的”。当它被研究时，其现存状态便引发了一些问题，对这些问题的化解将导致一种重构。倘若在“给定”主题的构件中不存在任何不一致或裂隙，数学也就不会一直受到关注，而是已经被完成和终结掉的东西。

（2）如早前的语境所示，质料手段和程序手段是共扼性地相互操作的。现在数学中有质料手段，虽然具有非实存性的特征，但在功能性上却拥有与料的地位。它们构成了操作规则所适用的“元素”或“实体”，而那些规则有程序手段的功能。例如，在等式2+3=5中，2和3是加法运算元素，而+和=是所要执行的运算。在这个等同关系中，实存性与料和数学元素或实体的逻辑功能与后者的非实存特征之间并没有任何不一致。相反，数学内容所必须满足的那种可转化性条件要求有一些“与料”，是根据施加于其上的操作和操作规则专门而全面地决定的。

在任何实存性探究中也是如此，质料性的材料是参照所开展的操作而选择和整理的，那些操作正是在假言命题中所表述出来的可能性。但是，那些被选择和整理以作为证据特征的性质是从总体的实存性情境中选取出来的，并且它们自身都是实存性的。由此，它们只能被具体而限定性地解释，因为任何实存的东西在时间和空间上都是环境性的、地方性的。所以，正如我们所看到的那样，物理的非实存性概括的内容都是按照最终的实存性应用来决定的；它们被表述以便尽可能具有全面性（运用到最广泛的实存领域中），这一事实并不能否定它们是根据实存性的应用来作最终决定的。形成的一般性的确消除了对于所有可能限制一般性之应用的实存性特质和环境；但是，此种消除通过对于类属上更广泛的实存性特点的选择而得到了弥补，而且实际上是通过那种选择而被建构的。数学质料性的与料的概念性本质意味着：它们专门而且整个是根据转换运作的可能性而被决定的，后者构成了程序手段。这个属性与我们已经提到过的摆脱了具体性因而也摆脱了限定性解释的属性，完全是一回事。

我们的讨论由此转入对数学中公设法的明晰考察。任何科学系统当从逻辑上进行分析和整理时，都会被发现包含某些对那个系统而言初始性的命题。这些初始命题就是公设，因为它们通过系统所推导出的命题而陈述了要被满足的要求。在自然科学系统中，需要满足的要求包括：（1）由受控性或实验性观察所决定的元素，（2）能够从实存性上施行的操作。就如已经表明的，作为数学系统公设的初始命题摆脱了这两个条件。因为它们有关操作的元素和方法的内容都是根据可转换性而被单独地决定的。

换句话说，数学系统的公设以彼此严格共扼的方式，表述了伴随着它们的操作元素及其方式。以下述公设为例：“如果a和b是K域的元素，那么，ab（a×b）也是K中的元素。”这里被假设的元素是a、b，被假设的的运算由“和”以及“×”或“ab”所代表。这个初始命题并没有先假设某些元素，然后由此借助于另一个初始命题来假定两个单独公设之中的某种运算。其中的元素和运算被置放在一个个体性的公设中，彼此在逻辑上互相依赖。a被定义为：如果由和所代表的运算是可应用的，那么，被×所系统化的运算必然也可应用。元素是结合着它们借以关联的那些运算而被建构的，它们的运算及规则是根据那些元素而被确定的。通过公设所引入的运算，唯有通过公设允许它们进入其中的那些组合才能被详细说明。例如，“×”所代表的运算是随便什么样的一种运算，只要能满足与“+”所代表的那种运算相关的交换律、结合律和分配律的条件即可。

正是因为这一点，在实存性质料的情况中属于不同逻辑形式的描述和定义，对于数学主题中的元素或质料性的与料来说却是一致的。同样，推论和蕴涵也是一致的。元素就是它们所被定义的样子；它们是由定义而且只由定义所构成的。另外，与元素具有共扼性关系的、被假设的那些运算方法却是解决而不是定义。定义和解决都不能等同于传统的、自明真理意义上的公理。解决程序方法看作是严格遵从的，而定义则把元素设定为通过组合的这些具体方法而与其或对其发生作用的运算，从而产生随后定理中所表述的转换。对它们的意义不存在其他任何控制，这意味着只存在严格形式上的控制。正如在早期有关数学的逻辑哲学中那样，它们并不因为从系统外参照某种“本质”而受到控制。

每一科学系统都由一组公设所构成，这些公设在逻辑理念上是相互独立的，或者说，在所要施行的操作上是不重叠的。因为关于操作的组合，是论说中的发展得以发生的唯一方式。以上提及的那个公设作为一种方式提出了一条原则，即任何受制于逻辑要求和条件的元素也都受制于交错运算的条件。另有一个公设说，如果。是K域的一个元素，那么，a也是其中的元素。它所表述的是：可被肯定的任何假定元素也都受否定运算所支配，因而能够满足肯定和否定函数这一共扼关系的逻辑条件。既然一组公设中作为构件的初始命题指定了借以把一种运算结果与其他运算结果组合的复合运算，那么，一个系统中的公设可能在另一系统中作为定理出现，反之亦然。因为唯一需要满足的最终逻辑条件是：公设界定元素，同时结合运算中规定好了处理这些元素的方式，以便满足所有形式性的合取-析取条件的定理被遵循。

任何单个的操作独自来看，都是可无限循环的或非终止性的。这一点甚至适用于像步行或砍树一样的物理操作。单个操作并不能提供它们自身终止的条件。只有当被一个反向操作切断或阻止时，它们才会终止。换句话说，操作及其结果的组合可称作截取式的，其典型的（尽管是有限制的）例子是我们已提到的肯定-否定关系。然而，正是在这一点上，我们要关注的是任何操作就其自身关于其身而言的无限重复性。因为这一特征为所谓的“数学归纳法”奠定了基础。它的本质可以作如下例示：第一个n加整数之和等于n²。因为，这个性质在n=1时成立；而且，我们可以表明，如果这个性质在n=k时成立，那么，这个性质也在n=k十1时成立。因此，它对于每一个n值都是成立的，因为每一个n值都可以从1出发，通过重复的加1运算而得到。由于无法从其他命题推演出这条原则，它一直被（如被彭加勒）视为“心灵直觉”。事实上，它所表述的正是：任何运算都固有一种循环性，直到它被与另一个运算的组合所截取或被超限数那样的领域（其中，诸运算不再拥有此种归纳性质）所限定。它既不是公设也不是直觉，而是对一个给定系统中所假设的那些运作之本质的局部描述。与另一些运算相整合同时被限制性运算所截取的运算组合，在数的体系内，会产生作为和（或积、差）的数；而且基于这样的运算整合，这些数也都是整数。因此，748作为与它由之得以被构建的那些运算相关的一个和或差或积，同时又是一个本身可以在进一步的运算中被视为整数的数。如果不是因为在这个普通实例中所阐明的那种原则，那么，数学主题那种因为抽象而不明确的可转换性的典型特征也就不会存在。1、1/1、1×1都是不同运算的结果，而且相对于它们由之得以建立的那些运算都是分明的，其中比较明显的例子是：1作为无限序列1/2、1/4、1/8、……的极限和。但是，进一步的运算可以同这些结果中的任何一个进行运算，根据当下问题的迫切性，既可以涉及它由之得以建构的那些运算，也可以不涉及，只要不违背系统内的公设就行。如果不这样的话，抽象可转换性这样的条件便无法得到满足，因为那将设置起障碍，就像曾经应该在“无理数”的情况下所存在的那种障碍一样。

这条原则是在数学中扮演着重要角色的收缩（简化）运算和扩充（合成）运算的基础。各种不同运算的运算组合，其符号形式是括号或括弧。运算组合的结果可以是一个简单的表达式，随后可以对其进行运算，而不必涉及括号里的内容所象征的那种复合运算。这种简化是对那种原则的另一种例证，即可转换性是最终的逻辑范畴，并且所有的数学运算必须维持或促进与系统公设相关的转换。

因此，在一个给定的系统内部，等价总是期待中的自标或要被获得对象。根据我们之前所提出的立场，作为期待中的目标，它也作为对其获得的条件作甄别性整理的手段而发生作用。在数学中，等价是以等式的形式出现的。在实存性探究中，等价和可替换性的实现是根据最终的实存性应用被实现的，因而受到如此所施加于之上的条件的限制。在数学上，由于等价（等式）是给定系统内所要达到的思虑中的目标，而且是对元素作甄别性整理的一种操作性规则，借以决定系统中诸内容的那些操作上的差别与进一步的操作无关（就像它们在论说中，并不打算产生那些在实存性上具有可应用性的全称命题）。倘若它们的结果满足一个最终所获得等价或相等的条件，那么，它们就能够在简化或扩充的形式上被看作转换之进一步操作的材料。

等价在为一组给定的公设所决定的系统之内，是期待中的目标。当不同的公设集合决定不同的系统时，存在于它们之间的那些等价满足条件就找不到了。但是，普遍的可转换性要求任何一个系统的定理都可转换为其他系统的定理。这种相互可翻译性是通过建立同构来实现的，即同构（就像是不同投射系统下的地图的同构那样）对于系统之间的可转换性，如同等价相对于系统内部的转换一样。然而，系统之间的可转换性的建立，要求建立一个新系统作为媒介。这就像希腊文、拉丁文、德文、法文、英文等等之间的相互翻译要求建立一种新语言或一套新符号一样。譬如，代数和几何的独特结果因为解析几何的建立而变成同构的了。用以界定数学主题的可转换性范畴的那种抽象普遍性，其典型特征就是：任何给定的数学系统的建立，迟早都会解决要求建立新的数学分支的问题，借此其典型性定理就可被翻译为其他系统中的那些定理——这是有助于说明数学发展的不定性繁殖力的一种思考。

诸运算的截取式组合，决定了数学中一个重要的范畴，即周期或群分。周期性排列的最初历史渊源，无疑是实存性的。例如，已经有人推测：最初对于2的名称起源于某种自然的群分，如鸟的两翼，而3的命名则起源于比如三叶草叶面上的对称排列。不管这些如何可能，可以确定无疑的是：构成十进制的周期性群分源自十个手指或脚趾这一实存性事实的暗示。虽然从历史源头来看，十进制是约定俗成性的，但某种形式的周期性群分（当然是独立于实存性上的考虑）却是必然而非约定俗成的。除非组合采用了运算的循环式群组的形式（或者说，若只是局限于各个运算的单独循环），否则就没有已经完成的运算之整合了。尽管在十进制中10循环出现，其中的群组尤其明显，但此种原则体现于任何数字中，比如2。否则，只会出现非数值性的连续性，就像在没有彼此整合时钟表连续的滴答声那样。在无穷序列中，周期性依赖于由之得以建立的那些运算的局部非整合性特征；反过来，作为整数的任何数，都是用以表达和确定某种排列周期性的运算的整合。线、面、体的概念及其子范畴都是整合性群分的例子。如果初看时，对于点的概念似乎不能这样说；但当注意到其概念完全相对于线、面、体概念来说的完整相关性时，其中的同一性便能显现出来。实际上，我们可以说，数学上的点就像数学上的瞬间一样，阐明了包含在抽象周期性之中的抽象间隔这一概念。

所获得的结论可应用于对零和无穷的解释。在确定任何被充分保证的结论时，肯定和否定（认同-分界、包容-排斥）的共扼性关系已经在讨论多种不同的逻辑话题时被反复地指出来了。这个条件在实存性探究中不能被完全满足，因为任何推论所得的命题，其实存性条件都未构成一个封闭系统。因此，这些命题具有或然性而不是必然性。数学主题从形式上得以建立，从而能满足此种条件。正和负彼此具有完全的共扼性，因此可以说，一个首要的持久的法则就是：一种运算所作之事都可以被另一运算取消。所以，0并不是一个纯粹为了令运算无效的符号，也并非像实存性命题中的空类那样，是表示在给定时间为空的一个种类的符号。它作为一个符号，是为了实现认同-划界、包容-排斥运算的充分而必要的平衡。在像a-b=0之类的等式中，可以找到关于这种共扼性的简单表达。

所发挥的积极的逻辑功能是：如果没有0，就会缺少能实现完全可转换性的运算。例如，在整数序列中，没有0，负数就没有合法的保证，因为。作为一个数引入了方向功能。一个更好的例证出现在解析学中：0在系统内部是所有矢量的原点。由它作为坐标系统的正中心，在所有方向上自由而一般化的运算可能性得以建构，并伴随着被如此确定的结果，以至于这些结果成为被限定了的转换系统内部的相关联内容。另外，0作为代表坐标上确定好的系统的正中心的符号，也是代表肯定和否定功能必须具有的那种充分整合关系的符号。

从非终结性的意义上讲，无穷是一个代表随便任何运算单独具有的内在循环性质的符号。因而，数的无穷或线（有别于欧几里得几何中的那些典型的线段）的无穷，并非指一个无穷数或一条无穷线。现代的数学哲学对于无穷概念给出了另一种更具一般性的意义。这个意义就是对应，尤其是一个真的部分与它为其部分的整体之间的对应。既然对应范畴包含在转换可能性中（在既有系统内部的等价关系、又有系统之间的同构关系的情况下），一个逻辑问题便被提出来，即在这个关于无穷的定义中，对应是否要从操作上进行解释，或者还是需要其他某种方式。在其操作性的意义上，那种认为无穷意味着集合与其真子集“相等”的学说，提出了一种可能性，即从操作性上建立具有同构性的对应。它差不多可以被解释为代表着抽象的“对应”。

“相等”在这个例子中并非意味着作为期待中的目标和给定系统内部之运算的控制的等价。例如，奇整数序列中的7对应于奇偶都包括的全整数序列中的4。这里的对应是真正的，犹如在9与5对应、11与6对应等等的情况中一样。虽然说所谈到的这些奇数仅仅是同时包含偶数、奇数的那个“整体”中的一“部分”，这是正确的；但由此并不能得出：这两个集合之间的关系，是在所有整数集合内所例示的“整体”和“部分”的关系的那种意义上的整体与部分的关系。奇数的连续性是整数整体集的一部分，因为它正是根据那些决定该集合的运算而发生的。但是，作为这样的一个奇数集，它们是被一种不同的运算所确定的，正因为如此，它们不是另一集合的一部分。把这种关系当作通常意义上的“整体-部分”关系，就像是说一张存在于英国的英国地图是这“整个”国家的一“部分”，但其中的重要关系是同构关系。两个集合诸构件之间的一一对应关系应该能够被构建起来，这是可转换性的一个特别的例子。在整理奇数时所执行的运算数目，总是等同于包含在全部奇数、偶数集合中的某某数之中的运算数目，例如7和4、9和5，等等。但是，就1、2、3、4等等来说，它们是譬如“10”这一整体的诸部分，虽然它们“作为部分而言”，其间的不同在于运算的整合性上，但这里的运算方法也不同于从奇数集中甄别1、3、5、7的方法。因此，这些数在运算上来说，不同于另一整数集中的认3、5、7。它们之间的对应（虽然不是等价的一种），可看作同构性的对应。正如上文我们一般性地所关注到的同构性那样，它构成了数学概念之新次序的可能性。因此，无穷范畴可被视为在抽象中的对应性表述。我将根据物理探究和数学探究各自中的“函数”意义，对这部分的讨论作一个总结。当说到“气体体积是温度和压力的函数”时，就断定了任何体积上的实存性变化都与温度或/和压力的变化相关。这一公式是通过实验观察的操作获得的，并以此来进行检验。故而，它是偶然性的，结果（上文引用的）波义耳的表述又被进一步完善，以满足范特·霍夫表述中新被确认的事实。考虑到函数的表述，只有借助于实存性观察的独立性操作，才能赋予体积、压力、温度以具体的值。这些值并不能在被它们所蕴涵的意义上，从公式中“得来”。在命题y= x²的情况中，任何为x或Y赋值的操作都必然对等式的其他成分的值形成相应的改变；赋值的这种操作，完全被该等式为其中一部分的那个系统所决定，而不是依赖于系统外的操作，比如那些观察的操作。因此，要通过引入命题函数和数学函数的形式来解释物理性的一般化（它们是可表述为函数上的相关性的）的形式，这在逻辑上是不可能的。

对于前面几段所隐含的意思的说明，可以通过“外延抽象”的方法，从对点和瞬间的解释中得出来。数学意义上的点不能在选择性的抽象思考的意义上，从物理上的线、位置或体积的关系中“抽象而来”。点在逻辑维度上不同于任何物理上的面积，不论这物质多么细微。点也不是对于外延的纯粹否定。除了伴随着纯粹的否定或者说否定的“无限”的逻辑困难以外，点还发挥着一种积极的作用。0并非数的缺乏，同样地，点也并非外延的缺乏。它是严格的关系性词项（而非相关的）。在“外延”的字面意义上看，不论如何外延，它都不可能根据抽象衍生出来。点代表的是关系，而封闭-被封闭这样的关系则不可能通过选择那些彼此封闭的事物关系而从逻辑上得以设立；尽管后面这种关系可以暗示抽象的关系。它与那些被封闭的和封闭性的物理体积之间的关系，如同父亲身份与那些是父亲的人之间的关系。“线由点组成”的说法，不过是说截取操作可以与那种设立数学上的线的操作相组合，从而使点得到确定的一种方式而已；而说“线由无穷的点组成”，也仅仅是在说：所谈到的这种复合性操作就像该领域内的任何操作一样，并不是终结性的。

5.实存性指步的可能性。一开始，我们曾说过：数学的逻辑理论必须能说明何以缺乏实存性指涉的必要性，从而使数学命题能够得到形式证明；还要能说明此种指涉的一般化的可能性。至此为止，我们一直都在专注这两种考虑的第一种。算术在一般商业交易中的运用以及数学在物理科学中所扮演的角色足以表明：可适用性是一种可能性，而可能性是在一个广阔的范围内现实化的。关于可能性，我们将讲到两点。

（1）可适用性是无限广泛的，而这正是因为它缺少应用的必然性。数学主题的实存性应用的范围与它的抽象性程度成正比，这一点在物理科学史与数学科学史的关系中有所显现。只要欧氏几何被认为有直接的本体论参照，几何学在物理学上的应用便大受限制；而且一旦被应用，它常会把物理学引向歧途。黎曼几何与罗巴切夫斯基几何不仅使几何学摆脱了所谓的实存性参照（这不仅为古代人所设定，而且出现在康德关于几何学和空间的联系，以及空间与先天概念形式的联系的理论中），而且如此一来，它为广义相对论的物理理论的发展提供了帮助。像张量代数和恒量代数这些数学分支在刚产生时，无法想象会有什么物理学上的联系；但若没有这些分支的先验地独立发展，狭义相对论和量子论方面一些极其重要的发展就无法成为可能。

类似这样的例子还可以有很多，它们并非偶然巧合。如果没有本身即为可能性并在此范围内是抽象的观念的话，那么，实存性的转换就唯有通过机体手段才能产生。低等动物受限的活动范围，就说明了这样的结果。抽象概念的范围越是广泛，概念在论说中借以形成的操作越是广泛和抽象，可以用来开展物理性操作的可能性方式就有越多的工具，从而把与料作为广泛的系统推理的适宜基础。这些可能性在给定时间内在多大程度上成为现实，取决于当时的物理知识状况，尤其是当时可以获得的物理手段和技术。但是，那里的可能性，正等待着让它们操作性地展现的时机。

已经有人指出，亚历山大学派的数学家们拥有所有用以处理运动速度和加速度问题所需要的概念。因此，从理论上看，他们可能已预见到了现代物理学中的一些主要概念。但是，欧几里得几何带来了强制的限制性的影响，而这种影响之所以产生，则是因为它认为必然要根据本体论上的本质而解释数学概念。数被局限于几何比率这种作为结果的限制，赋予了公理和定义以具体的内容，并因此赋予了所有定理以具体的内容，从而使对于空间、时间和运动的设想无法摆脱性质上的考虑；但只有摆脱这些东西之后，才能使空间、时间和运动得到自由的、能够极大地拓展应用范围的数学处理。

（2）当数学概念对实存性的指涉发生了的时候，并不是直接性的。指涉是通过概念所指示和指引的实存性操作而被形成的，这是这部作品的一条基本原则。这里所补充的是：在许多情况下，数学概念都是用以指导计算的工具，而只有通过这些计算结果，才能促进对于实存与料的解释和整理。在这些情况下，对于与料的建构，不存在任何直接应用，即便是操作性的那种也没有。例如，无理数的获得，没有通过任何仅包含直接的物理测量的过程。这样的数并非那样一些操作的直接结果，也不管那些操作是不是在包含无理数的概念框架下开展的。无理数不是在描述测量操作的直接结果。但是，无理数的确使计算方法的使用成为可能，这些计算方法的结果方便了人们对于实验结果的整理。对连续函数，同样可以这样说。它们以及无理数都不允许根据直接的操作性应用来解释，即便在有些情况下，凭借它们使之变得可能的那些计算，它们进入对实存命题的最终表述中。诸如这样的一些实例，明显地说明了数学概念应用在自然科学中时所具有的功能性、非描述性的特征。它们在逻辑上的重要意义在于：它们具体地表明了全称命题的中介性、工具性地位。除非把这样的解释赋予许多计算的结果，否则所得到的命题都不得不失效，因为找不到有什么实存性东西与它们的内容相对应。

这里提出的这些思考，显然关系到检验和证实的本质。它们所证明的是：在探究实践中，对于观念或理论的证实，并不是要发现一个实存性的东西来满足观念或理论的那些要求，而是要借助该观念或理论作为工具，去对复杂的一组与料进行系统性的整理。

1-3  4-6  7-9  10-12  13-15  16-18  21-23  24-25